Фізик прояснив деталі вільного падіння швидше g
Австралійський фізик докладно досліджував падіння, яке відбувається з прискоренням більшим, ніж. Для цього він чисельно вирішив нелінійне диференційне рівняння для падаючого стрижня, закріпленого з одного з кінців шарніром. Виявилося, що для випадку, коли закріплений нижній кінець, його верхній кінець прискорюється експоненційно, а обгін вільного падіння відбувається тільки у виділеному діапазоні початкових кутів. Дослідження опубліковано в.
Вільне падіння на Землі відбувається з прискоренням, приблизно рівним 9,8 метр на секунду в квадраті. Інтуїтивно здається, що, якщо не відчувати ніяких додаткових зусиль, спрямованих вниз, падати швидше неможливо. Однак це справедливо тільки для точкових об'єктів. Ще півстоліття тому фізики показали, що обігнати можливо, якщо закріпити нижній кінець стрижня шарніром і дозволити йому впасти на горизонтальну поверхню. Вертикальне прискорення центру мас стрижня буде менше, ніж, проте точки поблизу його верхнього кінця можуть досягати в півтора рази більше прискорення.
Пізніше була запропонована схема, в якій закріплювався вже верхній кінець, а стрижень відпускався з горизонтального положення. При цьому будь-який об'єкт, що знаходиться в стані спокою на дальньому кінці стрижня, відразу ж починає відставати від нього, переходячи в режим вільного падіння. Незважаючи на те, що цей феномен відомий давно, в жодній з присвячених йому робіт не розрахована залежність кута повороту стрижня від часу, а лише записані самі рівняння руху.
Род Крос (Rod Cross) з Сіднейського університету вирішив закрити цю прогалину. Він чисельно вирішив динамічні рівняння для обох схем і з'ясував, чим падіння швидше в деталях відрізняється від вільного падіння. Виявилося, що в першій схемі залежність кута від часу описується експоненціальними або гіперболічними функціями.
Механічна модель однорідного масивного стрижня, закріпленого з одного з кінців шарніром принципово проста. Його падіння описується за допомогою єдиної координати - кута. Другий закон Ньютона для обертального руху стрижня пов'язує його кутове прискорення з синусом кута між стрижнем і вертикальною віссю.
Диференційне рівняння, що виходить, виявляється нелінійним. Воно має рішення, виражене через еліптичні функції Якобі, що досить важко аналізувати в явному вигляді. Замість цього математики часто вдаються до наближених рішень через ряди Фур'є або ряди Тейлора. Найбільш відомим стало наближення малих кутів стосовно другої схеми, в якому синус кута замінюється самим кутом, в цьому випадку рішення являють собою гармонійні коливання маятника.
Замість цього Крос записав і чисельно вирішив нелінійне диференційне рівняння для обох схем методом кінцевих різниць. У першому випадку він побачив, що стрижень, відпущений з майже вертикального положення (один градус), прискорюється за законом, який з високим ступенем точності апроксимується експоненціально. Збільшення початкового кута вимагає узагальнити цю залежність до гіперболічного косинуса. У другому випадку стрижень розганяється за параболічним законом.
Особливу увагу автор приділив першій схемі, її ще називають перевернутим маятником. Інтерес до перевернутих маятників обумовлений прикладним завданням з пошуку способу запобігти падінню стрижня, переміщуючи шарнір деяким чином. На відміну від другого випадку, тут обгін вільного падіння кінцем стрижня реалізується не завжди.
Фізик стежив за залежністю від часу вертикальної координати кінця стрижня і простого м'яча для різних початкових кутів. Він з'ясував, що для стрижня з параметрами, які в гармонійному випадку відповідали б циклічній частоті рівній восьми радіанам в секунду, його кінець буде завжди відставати від м'яча при кутах менших 42 градусів. При великих кутах м'яч випереджає кінець на початку траєкторії, але потім той його обганяє. Нарешті, для кутів більше 55 градусів кінець стрижня прискорюється швидше м'яча в будь-який момент часу.
Прості моделі дуже часто поводяться математично складно. Нещодавно в цьому переконалися фізики, які знайшли фрактальні властивості в переносці чашки з кави.