Нещодавно математикам з Вашингтонського університету в Ботеллі вдалося виявити новий тип п'ятикутного паркету. Він став п'ятнадцятим, відомим на даний момент. Ми пропонуємо читачеві розібратися в тому, що це взагалі за паркети такі і які у них є чудові властивості.
Почнемо, власне, з поняття паркету, яке ще називають замощенням. Паркетом називають розбиття площини на багатокутники так, що будь-які дві фігури перетинаються або по цілій стороні, або по вершині, або не перетинаються взагалі. Зрозуміло, придумати таких розбиттів можна дуже багато, але нас будуть цікавити тільки досить симетричні паркети.
Найпростіший тип паркету, званий платоновим, - це паркет з правильних n-вугільників, тобто багатокутників, у яких всі кути і всі сторони рівні. Всього таких паркетів три штуки: площину можуть замощувати тільки правильні трикутники, чотирикутники (вони ж квадрати) і шестикутники. Довести це досить легко. Сума кутів багатокутника вважається за формулою 180 (n - 2). Відповідно, величина кута правильного n-вугільника в цьому випадку становить 180 (n - 2 )/n. У кожній вершині паркету сходиться ціле число кутів (скажімо, k штук), причому їх сума повинна бути рівна 360 градусам. Отримуємо на ці два цілих числа наступне тотожність k (n - 2) = 2n. Легко показати перебором, що це рівність дозволено тільки для n = 3, 4 і 6.Забавно, що якщо відмовитися від умови правильності багатокутника, і, скажімо, розглянути паркети, складені тільки з випуклих багатокутників (тобто багатокутників, у яких всі кути менше 180 градусів), то з'ясується, що сторін в таких багатокутниках все одно не може бути більше шести. Доводиться це, втім, дещо складніше. Якщо відмовитися від умови випуклості, то семикутник цілком може замощувати площину.
Зображення: Wikimedia Commons
Що стосується дозволених для паркету багатокутників, то про них можна сказати ось що. Замостити площину можна будь-яким трикутником - достатньо скласти з нього і повернутої копії паралелограм. Довільний чотирикутник на роль паркету також підходить. З шестикутниками все цікавіше. Наприклад, можна взяти платонове замощення і почати його розтягувати по одному з напрямків. В результаті вийде паркет з уже не правильних шестикутників. Виявляється, втім, що таке розтягування (як і деякі, більш хитрі перетворення) зберігає фіксований набір властивостей. Щоб описати їх, позначимо кути шестикутника як A, B, C, D, E, F, а сторони як a, b, c, d, e, f. При цьому вважаємо, що сторона a примикає до кута A праворуч і всі сторони і кути названі за годинниковою стрілкою. У 60-ті роки минулого століття була доведена чудова теорема: шестикутником можна замостити площину тоді і тільки тоді, коли він належить одному або більше з трьох класів (класи тут перетинаються, скажімо, правильний шестикутник належить всім трьом):
- A + B + C = 360
- A + B + D = 360, a = d, c = e
- A = C = E = 120, a = b, c = d, e = f.
Однак найбільш складний випадок паркету на площині - це п'ятикутний паркет. У 1918 році Карл Райнхардт описав п "ять класів таких паркетів. Як і у випадку з шестикутниками, це цілі сімейства п'ятикутників, які задаються деяким набором рівностей на боки і кути. Найпростіше з них, мабуть, це A + B = 180 (вважаємо, що кути у п'ятикутника позначені як A, B, C, D, E). Перевірити, що такими п'ятикутниками можна замостити площину, залишаємо в якості вправи читачам. Довгий час цей список вважався повним, поки в 1968 році Роберт Кершнер раптом не виявив ще три таких класи. У 1975 році математик Річард Джеймс збільшив це число до дев "яти. Тут в історії починається найцікавіше - про відкриття Джеймса написав журнал Статтю побачила Мардж Райс, американська домогосподарка і за сумісництвом математик-аматор. Розробивши власну систему запису п'ятикутних замощень вона за 10 років довела їх кількість до 14.
Зображення: Wikimedia Commons
І ось, нарешті, через 30 років вчені з Вашингтонського університету в Ботеллі відкрили 15-те замощення. Зробили вони це за допомогою комп'ютера: у цьому університеті проект з чисельного вивчення замощень за участю студентів ведеться вже кілька років. Один з учасників групи, Кейсі Манн зізнається, що зроблено це було за допомогою досить великого перебору. Тобто ніякого серйозного просування за цим відкриттям не варто. За