Минулого вівторка було названо ім'я лауреата Абелівської премії 2018 року - аналога Нобелівської премії для математиків. Ним став канадець Роберт Ленглендс, який розробив величезну програму відповідності між різними математичними теоріями. Роботи Ленглендса показали, що дві такі різні області математики, як теорія чисел і теорія уявлень, можуть насправді виявитися тісно пов'язані. Розмах програми Ленглендса величезний - досі доведено лише частину тверджень, що входять до неї. Значимість цих приватних випадків для математики можна продемонструвати простим фактом: за останні 20 років троє вчених були нагороджені Філдсівською медаллю за роботи над програмою Ленглендса.
Програма Ленглендса і слідства з неї виявилися настільки широкими, що навіть сам Роберт Ленглендс зізнавався, що не цілком розуміє всі роботи в цій області. Ми поспілкувалися з математиками, що працюють в різних галузях цієї великої науки, і спробували з'ясувати, що ж являє собою програма Ленглендса. Щоб краще пояснити, що це таке, ми розбили матеріал на кілька окремих історій, які крок за кроком допоможуть хоча б частково зрозуміти всю красу тонкої мережі взаємозв'язків між різними математичними областями, яку деякі вчені називають «Великою теорією об'єднання математик».
Розібратися в програмі Роберта Ленглендса нам допомогли Нікон Курносов (НДУ ВШЕ, UGA), Дмитро Кубрак (MIT) і Володимир Потапов (Інститут математики імені Соболєва).
Про взаємність і теорію чисел
Як багато хто здогадується, математика не вичерпується геометрією, алгеброю і основами математичного аналізу, що викладаються в школі і перших курсах технічних вузів. Наприклад, класична теорія чисел досліджує різні закономірності об'єктів, схожих на звичайні числа - цілі, раціональні. Один з найвідоміших об'єктів теорії чисел - прості числа.
Перший крок до програми Ленглендса - квадратичний закон взаємності, твердження, відоме ще за часів Ейлера. Воно виглядає так:
Візьмемо два різних простих числа P і Q, причому виберемо їх так, щоб вони при поділі на 4 давали залишок 1 (це наприклад 5, 13, 17, 37, 41). Спробуємо вирішити два рівняння x2 ≡ Q (mod P) і x2 ≡ P (mod Q). Виявляється, якщо хоча б у одного з цих рівнянь є коріння, то воно автоматично є і у другого, а якщо коріння у першого рівняння немає, то їх не буде і у другого рівняння. Це і називається взаємністю.
Вирази x2 ≡ Q (mod P) і x2 ≡ P (mod Q) читаються дуже просто: «Чи є такі цілі числа x, що залишки при поділі і Q, і x2 на перше число (P) збігаються, і чи є такі цілі числа x, що їх квадрати дають той же залишок, що і P при поділі на друге число (Q)».
Це твердження пов'язане з іншим простішим фактом з теорії чисел: виявляється, прості числа, що дають 1 в залишку при поділі на 4, розкладимі на суму квадратів двох натуральних чисел. Наприклад, 5 = 12 + 22, 29 = 52 + 22.
Подібних законів взаємності в теорії чисел величезна кількість.
Галуа і підготовка до другого кроку
Перш ніж ми зробимо наступний крок, нам треба розібратися в тому, з якими об'єктами, крім звичних чисел може працювати математика.
Одне з відомих завдань математики - пошук коренів багаточленів. З пошуком коренів квадратних багаточленів всі ми знайомі зі школи - їх легко знайти за допомогою дискримінанта. Випишемо, наприклад, коріння такого рівняння: x2 + x + 1 = 0. Неважко побачити, що його коріння x = - ^ + (^ -3 )/2 і x = -. Уважно подивившись на ці числа можна виявити деяку симетрію між ними - зміна знака перед коренем в числі залишає число коренем рівняння. Така операція схоже на звичні нам операції симетрії, які поворотом або відображенням поєднують об'єкт із самим собою. Для коріння вищих ступенів зміна знака змінюється на поворот спеціального виду. Наприклад, рішення рівняння x5 = 1 утворюють правильний п'ятикутник на комплексній площині, вписаний в одиничне коло. Помітив і дослідив цю симетрію вперше видатний французький математик Еварист Галуа.
Галуа вказав на те, що різні симетрії, які можна знайти в корінні багаточленів, можна об'єднувати в групи. Для об'єктів, що входять до групи, можна ввести операцію, подібну множенню, причому результат множення об'єктів групи теж буде об'єктом цієї групи. Всілякі групи симетрій для коріння багаточленів так і називаються - групами Галуа.
Цікаво, що підхід, пов'язаний з симетрією коренів багаточленів, дозволив Галуа пояснити важливий факт з алгебри, теорему Абеля (на честь якого, до речі, і названа абелівська премія). Якщо для рівнянь другого, третього і четвертого ступеня ми можемо виписати спільне рішення в радикалах (використовуючи дискримінант або формулу Кардано), то для рівнянь п'ятого ступеня це неможливо. Це пов'язано з властивостями відповідної групи Галуа.
Крім груп Галуа ввів інше найважливіше поняття для теорії чисел - числові поля. Полями називаються такі набори об'єктів, для яких введені операції додавання, віднімання, множення та ділення. Наприклад, найпростіше поле - поле раціональних чисел (звичайних дробів). Які б два раціональних числа ми б не взяли, результат їх складання, множення і ділення виявиться раціональним числом, а отримати таким способом корінь з двох нам ніяк не вийде.
Однак ми можемо розширити наше поле: додати до нього коріння якихось багаточленів. Наприклад, можна додати корінь з двох - корінь багаточлену x2 - 2. Тоді всі числа в полі матимуть вигляд a + b ^ 2 (a і b раціональні) і результат будь-якої операції додавання, множення і ділення буде також зводитися до цього виду.
Ми можемо замінити корінь з двох на квадратний корінь з мінус одиниці, уявну одиницю і отримати числа виду a + bi. Навіть можна додати кубічне коріння з мінус одиниці тощо. У результаті отримуються більш складні числові поля, що відрізняються від поля раціональних чисел. І для них також можна ввести групи Галуа, що описують операції симетрії (обертання, заміни «+» на «-» і так далі), які зберігають поле раціональних чисел, але переставляють нові точки в розширеному полі.
У цій важливій для пояснення програмі Ленглендса частині нашої розповіді не можна не згадати про долю самого Галуа. Всі перераховані результати математик отримав у віці 16-20 років, далеко випередивши свій час. Але у віці 20 років Еварист загинув на дуелі, за деякими свідченнями, пов'язаною з любовною інтригою.
Про любов математиків до узагальнення
Серед численних жартів про математику є одна особливо підходяща для цієї розповіді. У ній один математик каже, що придумав нову теорему, а інший погрожує йому тим, що вже придумав, як її узагальнити.
У теорії чисел є величезна кількість законів взаємності, схожих на квадратичний. Їх можна формулювати для різних числових полів (алгебраїчних розширень поля раціональних чисел), запропонованих Галуа. Еміль Артін, австрійський математик вірменського походження, знайшов спосіб узагальнити квадратичні закони взаємності (і ще кілька відомих законів взаємності) відразу на багато різних числових полів. Формулювання взаємності, правда, стало набагато складнішим.
Взаємність Артіна дозволяє описати числові поля з абельовою (називається вона так, до речі, на честь вищезгаданого Абеля) групою Галуа. Умова що група абельова тут означає те, що при перемноженні елементів у цій групі можна переставляти множники місцями - результат не зміниться.
У кожної групи є її векторні уявлення. Уявлення - це спосіб узгодженим чином зіставити кожному елементу групи матрицю, що діє на векторному просторі. Векторне уявлення дає можливість висловити абстрактну алгебраїчну структуру через щось більш геометричне, зрозуміле і вивчене. Для абельових груп достатньо розглядати одномірні подання.
Еміль Артін зміг визначити так звані L-функції для кінцевомірних уявлень груп Галуа числових полів, більш того він довів що кожному одномірному уявленню однозначно відповідає характер Гекке, причому так, що L-функція подання збігається з L-функцією цього характеру.
Пояснити, чому це твердження схоже на квадратичну взаємність досить складно. З існування характеру Гекке з такою ж L-функцією випливає що твір деяких елементів групи Галуа в поданні дорівнює 1 - при правильному погляді на речі це виявляється природним узагальненням квадратичного закону взаємності.
Говорячи про Еміла Артіна потрібно згадати, що він вирішив півтори з 23 проблем Гільберта (сімнадцяту цілком, і частково - дев'яту, якщо бути точним) і поклав початок одній з красивих областей топології - теорії кіс.
І тут прийшов Ленглендс
Працюючи в Прінстонському університеті, Роберт Ленглендс побудував нові, раніше невідомі мероморфні («хороші») L-функції для автоморфних уявлень. Ці об'єкти були безпосередньо пов'язані з роботою Артіна і дозволили математику зробити найважливіший, третій крок у нашій розповіді - власне сформулювати гіпотези Ленглендса.
Будучи 30-річним ад'юнкт-професором в Прінстоні Роберт Ленглендс пише Андре Вейлю лист, що починається так: «Якщо ви збираєтеся прочитати ці чисті припущення, я буду вам дуже вдячний, якщо ж ні - я впевнений, у вас під рукою знайдеться сміттєве відро». У 17-сторінковому рукописному документі математик виклав гіпотези, що узагальнюють результат Артіна на всі числові поля і n-мірні вистави Галуа.
Спробувати описати це узагальнення можна наступним чином. Числові поля, на яких розглядається взаємність Артіна, обмежені групами Галуа з одномірними уявленнями. Гіпотеза Ленглендса стверджує, що таку ж взаємність можна отримати і для полів з уявленнями груп Галуа великих розмірностей.
Формально гіпотеза Ленглендса звучить так. Існує відповідність між
(1) n-мірними комплексними лінійними виставами групи Галуа на заданому числовому полі F і
(2) спеціальними виставами n-мірної узагальненої лінійної групи GLn (AF) з коефіцієнтами з кільця аделей F. За ними можна побудувати так звані автоморфні форми.
Коротко повторимо наш шлях до класичної відповідності Ленглендса. Спочатку ми говорили про взаємність двох рівнянь. Потім рівняння замінилися на характери: групи Галуа і групи іделів відповідно. А у випадку Ленглендса виникає відповідність ще більш складних об'єктів - автоморфних уявлень повних лінійних груп.
По суті, це відповідність між двома уявленнями. І, з одного боку, вистава будується за числовими характеристиками поля, а з іншого - за лінійно-алгебраїчними. Це і є відповідність, що лежить в основі всієї програми Ленглендса.
Відволікаючись від суворих математичних формулювань, зауважимо, що гіпотеза Ленглендса досі доведена лише в окремих приватних випадках. Наприклад, гіпотезу не доведено навіть для випадку раціональних чисел. Для одномірних випадків вона є наслідком теорії полів класів, і цей результат близький до результату Артіна. Для полів функцій кривих над кінцевим полем і групи GL2 (K) ця гіпотеза була доведена Володимиром Дрінфельдом, за що в 1990 році він отримав Філдсовську медаль. Потім сильніший результат вже для всіх GLn (K) отримав француз Лоран Лаффорг (Філдсовська медаль 2002 року).
До речі, одна зі статей Лаффорга називається «Chtoucas de Drinfeld et applications». Так, це те, про що можна подумати, один з об'єктів, введених Дрінфельдом, називається «штуками».
У 2010 році за доказ фундаментальної леми про автоморфні форми медаль Філдса отримав в'єтнамець Нго Бао Тяу - він став першим в'єтнамцем, який отримав цю математичну нагороду.
Що з усім цим робити
Програму Ленглендса порівнюють з Розеттським каменем. У майбутньому вона може стати інструментом, що дозволяє переводити твердження однієї області математики в іншу область математики. Якщо ми зможемо довести всі гіпотези Ленглендса, то у нас з'явиться можливість переносити твердження з автоморфних форм в теорію чисел. Але поки більш істотною проблемою залишається доказ окремих приватних гіпотез у програмі Ленглендса. І вони самі по собі призводять до важливих результатів.
Наприклад, приватний випадок гіпотез Ленглендса для почесних уявлень (що приходять з еліптичної кривої) включає в себе гіпотезу Таніями-Шимури-Вейля, нині відому як теорема про модулярність. Приватний випадок теореми про модулярність довів Ендрю Вайлс. Це дозволило йому завершити доказ Великої Теореми Ферма. Детальніше про те, як вирішували колись найвідомішу з невирішених теорем у математиці, можна прочитати в нашому матеріалі «Кому поля не жмуть».
Результати Дрінфельда і Лаффорга тісно пов'язані з теорією уявлень над кінцевими полями, - а ця область математики має пряме відношення до сучасної криптографії.
Крім арифметичної відповідності Ленглендса (зв'язує функціональний аналіз і теорію чисел) були сформульовані і різні інші узагальнення, наприклад, геометрична відповідність Ленглендса. Цього року за роботу над ним премію Вольфа отримали Володимир Дрінфельд і Олександр Бейлінсон.
Для геометричного Ленглендса є навіть спеціальний словник відповідності, що дозволяє «перекладати» твердження. Він виглядає приблизно так. Група Галуа відповідає фундаментальній групі алгебраїчної кривої. Вигляд - векторне розшарування з плоскою зв'язністю на цій кривій, тощо. Крім того, в ньому є спеціальне поняття дзеркальності, важливе для калібрувальних полів у теоретичній фізиці.
Замість ув'язнення
В цілому, сама ідея відповідності між двома різними математичними об'єктами подарувала і ще подарує математиці та фізиці багато чудових результатів. Яскравими прикладами є всілякі дуальності в теорії струн - S-дуальність, T-дуальність, AdS/CFT відповідність. З їх допомогою можна переносити складні математичні побудови з одних теорій в інші: наприклад, переписати завдання квантової хромодинаміки в кварк-глюонній плазмі мовою теорії струн.
Як часто буває, математика допомагає фізикам (і не тільки) знайти потрібну мову і потрібний апарат для опису якихось законів природи. І було б чудово, якби «Велика теорія об'єднання математики» допомогла нарешті завершити «Велику теорію об'єднання» сильних, слабких і електромагнітних взаємодій у фізиці.