Епідемії здавна загрожували людству, і тільки в ХХ столітті були розроблені ефективні засоби боротьби з інфекціями. До числа цих засобів належать і системи диференційних рівнянь - математика допомагає моделювати поширення епідемій і допомагає зрозуміти, як слід з ними боротися. Це наш третій матеріал про найцікавіші диференційні рівняння і про те, де і як вони застосовуються (попередні матеріали можна прочитати тут і тут). Якщо ви читаєте нас з телефону, перемикайте сторінку на десктопну версію, так ви зможете побачити інтерактивний графік цілком.
У XXI столітті світ вже встиг зіткнутися з епідемією пташиного грипу в Південно-Східній Азії (в 2013 році) і спалахом захворювань лихоманкою Ебола в Африці (2015). Але в історії людства бували і куди більш масштабні епідемії.
У 551-580 роках нашої ери в Східній Римській імперії вибухнула перша задокументована пандемія чуми, що отримала назву Юстиніанової, в результаті якої загинуло близько 100 мільйонів осіб (за іншими даними, жертв могло бути значно менше). Ще через 800 років до Євразії і Північної Африки прийшла Чорна смерть - пандемія чуми, що била від третини до половини тодішнього населення цих регіонів.
Внаслідок Першої світової війни, яка спричинила переміщення великої кількості людей, 1918 року поширився іспанський грип, що охопив понад 500 мільйонів осіб і погубив кожного десятого хворого. Ця пандемія стала наймасштабнішою за всю історію людської цивілізації, торкнувшись до 30 відсотків населення Землі.
У медичній класифікації епідемією називають прогресуюче поширення інфекційного захворювання на рівні вище середнього на цій території. У разі поширення епідемії на великі території або території багатьох країн говорять про пандемію. Для епідемії серед тварин застосовується термін епізоотію, а серед рослин - епіфітія. Цим явищам вчені також приділяють велику увагу, оскільки вони, в свою чергу, допомагають зрозуміти механізм поширення інфекцій.
Вивчення механізмів розвитку та поширення епідемій є важливим способом боротьби із захворюваннями поряд із пошуком нових ліків, вакцинацією та профілактичними заходами. На допомогу медикам прийшли математики - для цього їм довелося об'єднати диференціальні рівняння і теорію ймовірності.
Першу спробу використовувати математичний апарат для дослідження механізмів поширення захворювань зробив Данило Бернуллі, який раніше відкрив перші закони гідродинаміки. Наступний крок зробив Вільям Фарр, який застосував у 1840 році нормальний розподіл до аналізу смертності від віспи.
Про те, як диференціальні рівняння застосовуються в моделюванні складних біологічних систем, ми вже розповідали в статті «Я наздоганяю, ти тікаєш». Там розглядалася модель Лоткі-Вольтерри - система диференційних рівнянь для моделювання системи «хижак-жертва». За цією ж моделлю буде поширюватися і епідемія в ситуації, що передбачає стовідсоткову летальність за відсутності інкубаційного періоду, імунітету та інших факторів.
Нарешті, спираючись на роботи великої кількості попередників, британські вчені Андерсон Кермак і Вільям Маккендрік розробили широко застосовувану сьогодні модель SIR. Ця абревіатура походить від англійських слів, які буквально означають «сприйнятливі - інфіковані - одужали». Під «сприйнятливими» тут мають на увазі ще не інфіковані організми.
У рамках цієї моделі за допомогою систем диференційних рівнянь (за умови безперервності часу і великої популяції) або різнісних рівнянь (при дискретному часі і обмеженій популяції) описується динаміка поширення захворювання.
Модель SIR
SIR-модель отримала заслужену популярність в силу простоти побудови і використання. Її застосування дозволяє точно моделювати епідемії грипу та інших захворювань у великих містах, вводити нові параметри та аналізувати різні сценарії.
Система рівнянь SIR:
де
- - чисельність сприйнятливих індивідів у момент часу;
- - чисельність інфікованих індивідів у момент часу;
- - чисельність перехворілих індивідів у момент часу;
- - коефіцієнт інтенсивності контактів індивідів з подальшим інфікуванням;
- - коефіцієнт інтенсивності одужання інфікованих індивідів.
Перше рівняння системи означає, що зміна числа здорових (і при цьому сприйнятливих до захворювання) індивідуумів зменшується з часом пропорційно числу контактів з інфікованими. Після контакту відбувається зараження, сприйнятливий переходить у стан інфікованого.
Друге рівняння показує, що швидкість збільшення числа тих, хто заразився, зростає пропорційно до кількості контактів здорових та інфікованих і зменшується в міру одужання останніх.
Третє рівняння показує, що кількість тих, хто одиниці одиниці одиниці, пропорційна числу інфікованих. Інакше кажучи, кожен хворий через деякий час повинен поправитися.
Таким чином, ми бачимо, що захворювання в моделі SIR розвивається за схемою «сприйнятливі стають інфікованими, потім одужують». Умова
описує незмінність чисельності популяції (і не враховує випадки смерті від захворювання).
Графіки рішення виглядають так (це інтерактивний графік, в ньому можна регулювати параметри і):
Тут синя лінія - число сприйнятливих індивідів, червона - інфікованих, зелена - перехворілих.
Червоний графік інтенсивності епідемії, що показує кількість одномоментно хворіючих індивідів, визначається параметром:
Ця величина отримала назву «базовий коефіцієнт відтворення».
У 2012 році британська компанія Ndemic Creation випустила гру «Plague Inc»., біологічний симулятор епідемій. За сценарієм гри необхідно розвинути одне з обраних захворювань настільки, щоб воно знищило життя на Землі. На базових рівнях гри поширення захворювання відбувається в точній відповідності з моделлю SIR. Якщо прийняти, що замість одужання відбувається загибель організму, то зелений графік стає графіком числа померлих - кожен гравець може побачити його при успішному проходженні рівня. «Plague Inc». є однією з кращих стратегій серед існуючих на ринку і протягом багатьох років користується популярністю у десятків мільйонів шанувальників.
SIR-модель перестає працювати в разі необхідності враховувати неоднорідність популяції (наприклад, різну щільність населення в різних районах), різні шляхи передачі інфекції та фактори випадковості, значущі в малих популяціях і на початковій фазі поширення захворювання.
Розвитком моделі SIR стали, зокрема, такі моделі:
- SIRS - «сприйнятливі - інфіковані - видужали - сприйнятливі»: модель опису динаміки захворювань з тимчасовим імунітетом (одужалі індивіди з часом знову стають сприйнятливими);
- SEIR - «сприйнятливі - контактні () - інфіковані - одужали»: модель для опису поширення захворювань з інкубаційним періодом;
- SIS - «сприйнятливі - інфіковані - сприйнятливі»: модель для поширення захворювання, до якого не виробляється імунітет;
- MSEIR - «наділені імунітетом від народження (Maternally derived immunity) - сприйнятливі - контактні - інфіковані - одужали»: модель, що враховує імунітет дітей, придбаний внутрішньоутробно.
Модель SEIR
Саме за цією моделлю розвиваються по-справжньому небезпечні епідемії, оскільки тривалий інкубаційний період може перешкоджати своєчасному виявленню захворювання. У цьому випадку є ризик, що захворювання охопить значне число індивідуумів в популяції.
Інфекція розвивається за схемою «сприйнятливі» - «контактні» - «інфіковані» - «одужалі» і описується системою рівнянь:
де
- - рівень смертності;
- - величина, зворотна середньому інкубаційному періоду захворювання;
- - чисельність індивідів - носіїв захворювання в момент часу.
Як і в моделі SIR, перше рівняння системи означає, що зміна числа здорових (і при цьому сприйнятливих до захворювання) індивідуумів зменшується з часом пропорційно числу контактів з інфікованими. Після зараження здоровий захід переходить у стан контактного з цього захворювання, або носія інфекції.
Друге рівняння вносить затримку за часом при переході зі стану контактного в стан інфікованого (хворого). Це відбувається через час, що дорівнює інкубаційному періоду хвороби.
Третє рівняння описує перехід зі стану «контактний» до стану «інфікований».
Четверте рівняння показує, що кількість тих, хто одужав в одиницю часу, пропорційно числу інфікованих. При цьому в кожному стані індивідуум може загинути, що враховує коефіцієнт в кожному рівнянні.
Інакше кажучи, в кожен момент часу кожен індивідуум з певною ймовірністю може заразитися, через деякий час - захворіти, а потім поправитися або загинути.
Чисельність популяції при цьому не є постійною з плином часу.
Інтенсивність епідемії описує базовий коефіцієнт відтворення:
49 зі 100
Охочі на власні очі побачити, як «працюють» моделі поширення епідемії, можуть зробити це за допомогою симулятора, створеного канадським дослідником Беном Бебкуком.
Наприклад, побудуйте симуляцію, використовуючи такі параметри:
- На площі 20 ст.120 розміщені 100 індивідуумів (заповнення 25 відсотків);
- Індивідууми на кожному кроці переміщуються з імовірністю 80 відсотків, у разі контакту здорового індивідуума (зелена точка) з інфікованим (червона точка) відбувається зараження з імовірністю 50 відсотків;
- Зараження триває 6 днів, протягом яких можлива смерть організму з імовірністю 50 відсотків або повне одужання з придбанням імунітету;
- У момент початку епідемії приймемо, що інфіковані 5 відсотків організмів і ще 5 відсотків мають імунітет;
- Модель дискретна, один день = один крок моделі.
За допомогою моделювання ми бачимо, що 49 організмів зі 100 загинуть в результаті епідемії тривалістю в 29 днів.
Epidemic Simulator дозволяє моделювати результати епідемій при різних щільності популяції, заразності, летальності та стійкості захворювань.
Модель SIS
Модель «сприйнятливі - інфіковані - сприйнятливі» застосовна при аналізі поширення захворювань, до яких не виробляється імунітет, наприклад грипу та ГРВІ. Вона описується наступною системою рівнянь:
Разом перше і друге рівняння означають, що число здорових і хворих в сумі не змінюється, а число заражень пропорційно числу контактів здорових і хворих.
Друге рівняння описує зміну кількості хворих в одиницю часу, яка пропорційна числу заражень (числу контактів здорових та інфікованих індивідуумів) за вирахуванням числа одужань.
Графік розвитку захворювання відповідно до цієї моделі виглядає так (графік інтерактивний, можна регулювати параметри і):
Синя лінія - число сприйнятливих індивідів, червона - інфікованих у поточний момент.
Модель MSEIR
Ця модель, побудована для захворювання з інкубаційним періодом і враховує імунітет дітей, придбаний внутрішньоутробно, - одна з найскладніших для аналізу в силу наявності великої кількості незалежних параметрів. Система рівнянь для неї виглядає так:
Від раніше розглянутих моделей ця система рівнянь відрізняється тим, що враховує народження дітей, ймовірність зараження яких зростає з часом у міру втрати ними імунітету, набутого внутрішньоутробно. Ці залежності описано в перших двох рівняннях системи.
Придбаний внутрішньоутробно імунітет може бути не у всіх дітей, які з'явилися на світ, але вакцинацією можна охопити сто відсотків немовлят. Введення в математичну модель цього параметра призводить до якісної зміни картини розвитку епідемій.
Система рівнянь для цієї моделі буде такою:
де - частка щеплених немовлят, причому 0 < < 1.
Перші два рівняння повторюють модель SIR з урахуванням того, що ймовірність зараження щеплених дітей дорівнює нулю, а значить, ймовірність зараження дорівнює ймовірності, що дитина не щеплена, і, в свою чергу, дорівнює 1 -.
Останнє рівняння враховує смертність від інших причин і дозволяє розрахувати повну чисельність популяції.
Суперінфекції
Так у вірусології називається процес, при якому одна (перша) інфекція заражає організм, а після відбувається зараження другою інфекцією, стійкою до ліків для першої. Процеси, що виникають у клітинах, можуть призводити до мутацій і появи нових видів інфекцій і штамів вірусів. Більшість моделей не включають в себе можливість появи суперінфекції, оскільки це призводить до значного ускладнення завдання. При відсутності вторинного зараження і мутацій розвиток першої і другої інфекцій може розглядатися як два незалежних процеси,