Минулого тижня у нас вийшло відразу три новини [1, 2 і 3], які так чи інакше були пов'язані з конденсатом Бозе-Ейнштейна - станом, в який переходить газ бозонів при низьких температурах. Оскільки формат новини не дозволяє докладно пояснювати кожне слово, ми розповіли, що це таке, тільки в загальних рисах. Цього разу ми поговоримо про конденсат бозонів більш докладно, а заодно згадаємо про фермі-газ і квазічастинки.
Перш ніж перейти до обговорення власне квантових газів, розглянемо звичайну, класичну систему. Як ми знаємо, газ складається з великого числа хаотично рухаються по доступному простору частинок. Температура такої системи - це середня кінетична енергія однієї частинки (з точністю до множника, який нас не цікавить), тиск - середня сила, з якої частинки тиснуть на стінки, коли вдаряються і відскакують від них. І хоча властивості кожної з частинок постійно змінюються, ці середні величини весь час залишаються приблизно постійними і характеризують макроскопічний стан газу.
Якщо дотримуватися класичних законів механіки і вважати частинки точковими, можна зв'язати між собою відомі макроскопічні параметри і отримати рівняння стану ідеального газу. Виявиться, що температура пропорційна твору обсягу і тиску. Емпірично цю залежність ще в 1834 році виявив Еміль Клапейрон, теоретично (з використанням молекулярної кінетичної теорії) її обґрунтували Август Крьоніг і Рудольф Клаузіус в кінці 1850-х.
Однак класичні закони працюють тільки при великих температурах. Справа в тому, що при таких температурах діапазон енергій, доступних окремо взятій частинці, великий. Грубо кажучи, енергія та імпульс - а значить, і квантові стани різних частинок - хоч трохи, але відрізняються, і через це частинки в принципі можна відрізнити один від одного.
Ще можна сказати, що велика кількість доступних для системи комірок у фазовому просторі. Фазовий простір - це такий простір, в якому по осях відкладені як координати, так і імпульси всіх частинок системи. Тому точка, обрана в ньому, однозначно характеризує стан системи. Правда, через принцип невизначеності Гейзенберга одночасно зафіксувати і координату, і імпульс не можна - твір їх невизначеностей не може бути менше ħ/2. Тому фазовий простір розбивається на комірки об'ємом (2πħ) N, де N - число частинок системи.
При зниженні температури все більше частинок переходять у стани з однаковими енергіями, відрізнити їх один від одного стає складніше, і через це починають позначатися квантові властивості системи. Як відомо, всі частинки підпорядковуються або статистиці Бозе-Ейнштейна (тоді частинки називають бозонами), або статистиці Фермі-Дірака (ферміони). У першому випадку хвилева функція системи, що складається з однакових бозонів, не буде змінюватися при перестановці двох частинок. У другому випадку при перестановці вона буде змінювати знак. Простіше кажучи, два ферміони не можуть одночасно перебувати в одному квантовому стані (принцип заборони Паулі), а бозони можуть.
Через це в газі ферміонів з'являється ефективне відштовхування - частинки змушені мати різні імпульси. При нульовій температурі всі частинки розташовуються всередині так званої фермі-сфери, тобто їх імпульси лежать в діапазоні від нуля до деякого певного значення. При відмінній від нуля температурі цей розподіл трохи «розмивається». В ідеальному газі, на хвилинку, при нульовій температурі імпульси всіх частинок дорівнювали б просто нулю. Тому при рівних обсягах і температурі тиск у фермі-газі буде більшим, ніж в аналогічному класичному газі - рівняння стану змінюється.
У газі бозонів, навпаки, спостерігаються зворотні ефекти. У ньому частинкам ніщо не заважає зібратися всім разом у найнижчому енергетичному стані, і вони з радістю це роблять - можна сказати, що виникає ефективне притягування. Власне, це квантовий стан, в якому одночасно знаходиться велика (як кажуть, макроскопічна) кількість частинок, і називається конденсатом Бозе-Ейнштейна. Чим менше температура, тим більше бозонів переходить у конденсат, при нульовій температурі в ньому знаходяться всі частинки системи.
Звичайно, в житті все трохи цікавіше - між частинками в квантових газах є взаємодія. І чим менше температура, тим більшу роль воно відіграє. Взагалі кажучи, якщо сила взаємодії якимось хитрим чином залежить від відстані між частинками і від їх числа, врахувати її складно. Однак у деяких випадках це можна зробити за допомогою квазічастинок - збуджень, що поширюються в газі реальних частинок.
Для того щоб описувати взаємодію було зручніше, вводять оператори народження і знищення частинок із заданим імпульсом, тобто переходять до подання вторинного квантування. Оператор знищення влаштований таким чином, що при дії на стан системи, в якому знаходиться n частинок, він повертає стан, в якому знаходиться n-1 частинка, помножене додатково на ^ n. Оператор народження діє в зворотний бік.
Комутатор операторів народження і знищення бозонів дорівнює нулю, якщо імпульси частинок відрізняються, і одиниці, якщо вони збігаються. Іншими словами, ці оператори можна переставляти, але тільки в тому випадку, якщо їх імпульси відрізняються. У ферміонів при перестановці операторів необхідно змінювати знак виразу, тобто тими ж властивостями володіє антикомутатор. Власне, цей факт відображає відмінності в симетрії хвильових функцій систем бозонів і ферміонів.
Через те, що ми додали в систему взаємодію, її гамільтоніан стає недіагональним. Гамільтоніан - це оператор, який описує енергію системи в різних квантових станах. Щоб привести його знову до діагонального вигляду, роблять поворот - замінюють оператори народження і знищення частинок на суму нових операторів з деякими коефіцієнтами. При цьому також треба стежити за тим, щоб виконувалися комутаційні співвідношення операторів.
Ці нові оператори народження-знищення якраз і описують квазічастинки. З їх допомогою можна пояснити такі явища, як надплинність і надпровідність, якщо подивитися, як вони поводяться в зовнішньому полі і при зниженні температури. Наприклад, в бозі-газі при низьких температурах енергія квазічастинок буде пропорційна їх імпульсу, тобто це звукові коливання - фонони. Навпаки, при порівняно великих температурах квазічастинки набувають масу. У фермі-газі енергетичний спектр квазічастинок ще складніший.
Втім, неідеальні бозе- і фермі-гази - це окрема велика історія. Напевно, про них якось в інший раз.