Фізики з Гарвардського університету детально розібралися з тим, як формується звук у співаючій пилці. Провівши експериментальне, аналітичне і чисельне дослідження, вони дійшли висновку, що за це відповідальні ефекти топологічного захисту. Дослідження опубліковано в.
В основі будь-якого музичного інструменту лежить його здатність якийсь час підтримувати підведену до нього енергію у вигляді коливань. У неелектронних музичних інструментах механічна енергія запасається в резонаторах різного типу, наприклад, струні або повітряному обсязі, в яких стояча хвиля формується за рахунок відображення від стінок або країв.
На цьому тлі явно виділяються музичні пили (їх ще часто називають співаючими). Особливість пилки в тому, що її можна уявити у вигляді тонкого аркуша упругого матеріалу утримуваного з обох сторін. Однак якщо передати механічну енергію плоскій пилці, вона видасть лише глухий звук, оскільки енергія швидко розсіється на кордонах, за які її утримують. Така ж ситуація спостерігається якщо зігнути пилку дугою. Але якщо надати пилку S-подібну форму, то в точці її перегину коливання починають підтримуватися істотно довше, формуючи характерний тембр співаючої пилки.
В акустиці ця область отримала назву зони найкращого сприйняття. Примітно, що при збереженні S-подібного вигину ефект стійкий до різноманітних деформацій пилки: змінюється головним чином тон звуку, що і робить гру на пилку можливою. Така особливість сильно нагадує стійкість мод у топологічних ізоляторах, на основі яких планують створювати квантові комп'ютери. Незважаючи на те, що фізику співаючої пилки вже намагалися вивчати аналітично і чисельно, ніхто не звертав уваги на її зв'язок з ефектами топологічного захисту.
Це вдалося зробити групі фізиків з Гарвардського університету під керівництвом Лакшмінараянана Махадевана (Lakshminarayanan Mahadevan). Вони почали своє дослідження з побудови моделі пилки, яка являла собою довгий і тонкий пружний лист прямокутної форми. Її вигин задавався за допомогою тензору кривизни, єдина ненульова компонента якого залежить тільки від поздовжньої координати вздовж аркуша. Для S-подібної конфігурації вона зверталася в нуль в точці найкращого сприйняття.
На першому етапі фізики записали рівняння для полого аркуша, в якому вони розглянули тільки поперечні хвилі. Їх рішенням стали дисперсійні співвідношення, у яких імпульс мав дві компоненти. Зокрема, виявилося, що якщо імпульс моди володів ненульовою поперечною компонентою, то в області дозволених частот з'являлася заборонена зона. Оцінки, зроблені для сталевого аркуша з кривизною кілька десятих часток зворотного метра, показали, що в такій пилці зона повинна лежати в діапазоні звуку від 2 до 5 кілогерц. Спектрограми, зняті з реальної S-подібної пилки в лабораторних умовах, показали, що частота видаваного їй звуку лежить в межах цієї зони.
Для того, щоб дослідити симетрії в пилку, фізики, зробивши заміну, переписали диференціальні рівняння таким чином, щоб вони містили першу похідну за часом. Нове рівняння виглядало аналогічно рівнянню Шредінгера з відповідним гамільтоніаном, чиї власні вектори містили в собі інформацію про топологію зонної структури. Зокрема, фаза цих векторів володіла сингулярністю в точці перегину. Вона виникала через комбінацію двох типів симетрії: інверсії в часі та дзеркальній симетрії. Саме цей ефект і створював топологічний дефект, в якому зберігалися ізольовані моди.
Рішення повної чисельної задачі підтвердило аналітичні висновки. Виявилося, що топологічний захист не дає модам сильно взаємодіяти з кінцями пилки, за які він утримується. Цей ефект можна використовувати для створення високодобротних резонаторів не тільки в акустиці, але і в наномеханіці, де їх можна виготовляти, наприклад, з графена.
Співаюча пила - це не єдиний акустичний матеріал з незвичайними топологічними властивостями. Раніше ми розповідали, як фізики побудували акустичний ізолятор Черна.