Британські математики Ендрю Букер (Andrew R. Booker) і Ендрю Сазерленд (Andrew V. Sutherland) знайшли новий спосіб розкласти число 3 в суму трьох кубів цілих чисел. Два тривіальних рішення були відомі давно: 3 = 13+13+13 = 43+43+(-5)3. Оновлений алгоритм пошуку рішень діофантових рівнянь дозволили знайти третє рішення. Новий алгоритм і рішення рівняння x3 + y3 + z3 = k для k = 3, 42, 165, 579, 906 опубліковані в журналі
Діофантові рівняння - це поліноміальні рівняння, наприклад, 5x + 3y = 1, або x2-3y2 = 1, рішення яких шукають серед цілих чисел. Вони цікаві тим, що їх дуже просто сформулювати, але дуже складно вирішити. Класичний приклад таких рівнянь - Велика теорема Ферма, xn + yn = zn для n більше двох. Щоб довести, що це рівняння не має рішення в цілих x, y, z знадобилося більше 350 років.
Десята з 23 проблем Гільберта, найважливіших завдань математики, сформульованих у 1900 році, звучить так: «Як за кінцеве число операцій дізнатися, чи є у діофантового рівняння рішення чи ні?» У 1970 році Юрій Матіясевич показав, що універсального алгоритму, який визначав би наявність рішень довільного діофантового рівняння, не існує. Тим більше не існує універсального алгоритму вирішення діофантових рівнянь. Завдання про розкладання довільних натуральних чисел в суму кубів цілих чисел - одне з тих завдань, в яких невідоме не тільки її рішення, але і сама можливість розкласти деякі з чисел.
Деякі натуральні числа, наприклад, k = 29, розкласти в суму кубів дуже просто: 33+13+13 = 29. Вже для k = 30 рішення досягається лише при x = 3 982 933 876 681, y = -636 600 549 515 і z = -3 977 505 554 546, а для k = 31 і 32 рішення і зовсім немає, як і для всіх k даючих в залишку 4 або 5 при поділі на 9. Це пов'язано з тим, що куби цілих чисел можуть давати в залишку при поділі на 9 тільки 0, 1 і 8. Розкладання для k = 33 вдалося знайти Ендрю Букеру лише в 2019 році, і воно виглядає так:
33 = 8 866 128 975 287 5283 + (−8 778 405 442 862 239)3 + (−2 736 111 468 807 040)3
У 1992 році Роджер Хіт-Браун припустив, що для кожного натурального числа (крім 4 і 5 при поділі на 9) є нескінченно багато розкладів на куби цілих чисел. Також Хіт-Браун вказав на те, що ці розкладання будуть дуже сильно відрізнятися за величиною x, y і z. Наприклад, дві сусідні трійки x, y, z для даного k можуть різнитися приблизно в 100 мільйонів разів. Цікавим було знайти кілька розкладів на куби для одного числа і порівняти їх між собою, наприклад, знайти ще одне розкладання для x3 + y3 + z3 = 3.
Пошук розкладання k = x3 + y3 + z3 зводиться до розумного перебору x, y, z для кожного k. Математики збільшили швидкість перебору можливих x, y, z трохи видозмінивши вихідне рівняння:
(x + y)(x2 – xy + y2) = k - z3
А також скориставшись теорією чисел для того, щоб скоротити простір значень (x + y) для зазначених k і z. Детальний опис алгоритму та початковий код можна знайти в статті. Розбивши перебір варіантів на велику кількість паралельних потоків, математики змогли знайти нове рішення для k = 3:
3 = 569 936 821 221 962 380 7203 + (−569 936 821 113 563 493 509)3 + (−472 715 493 453 327 032)3
Автори звертають увагу на те, що трійка x, y, z дещо «перекошена» - перші два числа за модулем приблизно в тисячу разів більше, ніж останнє. Щоб знайти це рішення, математики скористалися обчислювальною мережею Charity Engine, що складається з півмільйона комп'ютерів добровольців. За оцінками Ендрю Букера, для того щоб знайти наступне розкладання трійки в суму трьох кубів за розумний час, може знадобитися в сто мільйонів разів більша кількість пристроїв - через те, що трійки x, y, z зустрічаються так рідко. "Я не знаю, чи знайдемо ми коли-небудь четверте розкладання. Але я вірю, що воно десь там "- прокоментував Сазерленд результати дослідження для MIT News. Також автори знайшли рішення для k = 42, 165, 579 і 906. Про результат для k = 42 стало відомо у вересні 2019 року.
42 = (−80,538,738,812,075,974)3+80,435,758,145,817,5153+12,602,123,297,335,6313
165 = (−385,495,523,231,271,884)3+383,344,975,542,639,4453+98,422,560,467,622,8143
579 = 143,075,750,505,019,222,6453+(−143,070,303,858,622,169,975)3+(−6,941,531,883,806,363,291)3
906 = (−74,924,259,395,610,397)3+72,054,089,679,353,3783+35,961,979,615,356,5033
Серед натуральних чисел до 1000 залишаються «нескореними» лише сім: 114, 390, 627, 633, 732, 921 і 975.
До речі, у нас є цікавий матеріал про доказ Великої теореми Ферма: «Кому поля не тиснуть».