Вона майже на тисячу років старше «таблиці хорд» Гіппарха і використовує оригінальний підхід до тригонометрії, заснований на точних шістдесятеричних відносинах сторін прямокутних трикутників, а не на кутах і дугах окружності. Стаття опублікована в ScienceDirect.
Вважається, що Гіппарх (190-120 до нашої ери) був першим математиком, який склав тригонометричну таблицю і використовував її в астрономічних розрахунках.
Строго кажучи, це таблиця довжин хорд для кола довжиною в 21600 і радіусом в 3438 одиниць, всього були розраховані значення для 24 кутів з кроком в 7,5 градусів.
Надалі Птолемей (100-170 років) удосконалив таблицю, вирахувавши довжини хорд з кроком у ^ градуса і вказавши інтерполяційні методи, за допомогою яких можна було знайти значення для проміжних кутів.
Також у XV столітті індійський астроном Мадхава з Сангамаграми незалежно склав тригонометричну таблицю, користуючись знайденим ним розкладанням синуса в степеневий ряд. Винахід тригонометрії зіграв велику роль у науці, оскільки дозволив астрономам розробляти кількісні моделі і робити численні передбачення.
У той же час геометрія стародавнього Вавилона розвивалася виходячи з практичних потреб адміністраторів, землемерів і будівельників. З їхніх вимірювань полів, стін, стовпів, будівель, садів і каналів зросло розуміння фундаментальних типів практичних фігур - квадратів, прямокутників, трапецій і прямокутних трикутників. Довільним трикутникам приділялося мало уваги, і з поняттям кута у Вавилоні знайомі були погано.
Звідси випливає заснований на вимірюванні відносин сторін фігур підхід до геометрії. Вавилонські математики були знайомі з поняттям подоби і теоремою Піфагора (відомий голландськи математик ХХ століття Ван дер Варден вважає, що вавилоняни відкрили її між 2000 і 1786 роками до нашої ери).
Для обчислень вони використовували позиційну шістдесятеричну систему обчислення і безліч таблиць, за допомогою яких перемножували числа, зводили їх у ступінь, знаходили зворотне, квадратний і кубічний корінь і навіть двійковий логарифм числа.
Відома як Плімптон 322 (P322), маленька глиняна табличка розміром 12,7 см на 8,8 см (приблизно як паспорт) була виявлена на початку 1900-х років у південному Іраку археологом, академіком, дипломатом і торговцем антикваріатом Едгаром Бенксом.
Порівнюючи стиль листа з іншими давньовавілонськими текстами, Елеанор Робсон датувала її між 1822 і 1762 роками до нашої ери. Табличка має чотири стовпчики і 15 рядків чисел, написаних клинописом, але її лівий край відламаний.
У четвертому стовпчику виписано номери рядків, у другому і третьому містяться два з трьох чисел піфагорової трійки. У першому стовпчику записано значення, що відповідають зворотному квадрату синуса кута при основі трикутника, які співвідносяться з цією піфагоровою трійкою.
Ґрунтуючись на попередніх дослідженнях, вчені представили нові математичні докази того, що спочатку в P322 було шість стовпчиків і 38 рядків, а сама таблиця використовувалася для обчислення невідомої сторони прямокутного трикутника за двома відомими, тобто як тригонометрична.
Порівнюючи числа з різних стовпчиків, дослідники дійшли висновку, що в відсутніх двох стовпчиках містяться значення порожніх, які в сучасних позначеннях дорівнюють котангенсу і косекансу кута при підставі прямокутного трикутника відповідно.
Дані були розраховані для піфагорових трійок, що визначають різні кути. Цікаво, що укладачі P322 вибирали такі трикутники, щоб всі відносини записувалися кінцевою послідовністю цифр у шістдесятеричній системі обчислення.
Іншими словами, всі значення, представлені в таблиці, абсолютно точні, і це відрізняє P322 від інших тригонометричних таблиць. Правда, вавилоняни допустили кілька помилок при розрахунку значень або їх переписуванні, але це помилки виконавчі, а не ідейні.
Дослідники не першими припускають у своїй роботі, що відсутній фрагмент таблиці містить значення порожній, але суттєво новою є ідея про те, що вміст P322 слід розглядати як опис третього відношення, що складається з них.
Через прихильність вавилонян до точності воно було замінене трьома колонками, щоб обійтися без наближень. Квадрати в першому стовпчику - це індекси, що вказують на зменшення кута при підставі трикутника, а значення з третьої і четвертої дорівнюють порожнім і порожнім і потрібні для спрощення обчислень.
Раніше вважалося, що P322 допомагала вчителю перевіряти рішення квадратних рівнянь, які задавалися студентам - наприклад, знайти таке x, що (x - 1/x) = 7. Однак ця таблиця могла також служити потужним інструментом для виконання точних архітектурних розрахунків або розмітки полів.
Як показав американський математик, володар премії Тьюрінга Дональд Кнут, вавилоняни вміли інтерполювати з таблиці проміжні значення, але навіть без інтерполяції вона дає кращі результати обчислень, ніж деякі пізніші таблиці.
Наприклад, у цій статті автори порівняли таблицю Мадхави і P322, яка майже на 3000 років стародавня, вирішивши за їх допомогою декількох завдань на трикутники. У всіх випадках відповіді, отримані вавилонською таблицею, були ближчими до справжнього значення.
P322 історично значима тому, що є не тільки найдавнішою, але також і єдиною абсолютно точною тригонометричною таблицею. Ірраціональні числа та їх наближення здаються нам необхідними в класичній геометрії, але P322 показує, що в тригонометрії можна обійтися без них.
Як зауважують автори роботи, якби історія склалася по-іншому і глибоке математичне розуміння укладача таблички не було втрачено, цілком можливо, що заснована на відносинах тригонометрія розвинулася б замість звичної нам науки, що оперує з кутами.
Раніше ми писали, що в вавилонських клинописних табличках знайшли початку матаналізу, за допомогою яких стародавні астрономи розраховували рух Юпітера.