Американські вчені з Рочестерського університету виявили константу під час обчислення помилок у рівнянні Шредінгера для атома водню варіаційним методом. Зв'язок між фундаментальною постійною і квантовою механікою дослідники виявили випадково в рамках навчання студентів цього методу. Результати роботи автори опублікували в.
У квантовій механіці варіаційний метод використовується для наближеного знаходження енергетичних станів квантових систем, які не можуть бути вирішені точно. Хаген, один з авторів даної публікації, застосував при навчанні студентів варіаційний метод до нагоди атома водню, для якого відомо точне рішення рівняння Шредінгера. Як приклад він вибрав випадок, що має відоме точне рішення, для того, щоб показати типову для методу помилку обчислення.
Помилка обчислення енергетичного стану дуже сильно залежить від того, який саме стан обчислюється. Зазвичай варіаційний підхід дає хороше наближення для низьких енергетичних рівнів, однак, в ході підрахунку, Хаген зауважив, що для основного стану атома водню помилка варіаційного підходу становить приблизно 15 відсотків, для першого збудженого - десять відсотків, і потім стає все менше по мірі збільшення ступеня збудження.
Фрідман, колега Хаґена з математичного факультету, допомогла інтерпретувати отриманий результат. Дослідники дійшли висновку, що межа варіаційного рішення наближається до моделі атома водню, розробленої Нільсом Бором, згідно з якою орбіта електрона являє собою сферу. Це добре узгоджується з принципом відповідності Бора, згідно з яким квантова фізика в міру переходу до макроскопічних величин повинна переходити в класичну.
З формули межі варіаційного рішення в міру збільшення енергії автори зуміли вичленувати формулу Валліса, яку в 1655 році англійський математик Джон Валліс запропонував для обчислення числа порожніх у вигляді суми нескінченного ряду. Число Пі виникає в багатьох реальних завданнях. Наприклад, його можна вирахувати, подивившись на статистику певним чином побудованого більярду.