Наочна  метрія

Зазвичай геометричні завдання передбачають суворі креслення. Блогер і математик Катріона Ширер придумує візуально привабливі завдання, для яких не потрібні креслення. Досить уважно подивитися на картинку, згадати один-два факти з угорської метрії, і рішення знайдеться. З дозволу Ширер пропонуємо нашим читачам випробувати себе у вирішенні цих завдань.

1. Радіуси жовтих кіл однакові. Трикутник на картинці рівносторонній. Яку частку від великого кола займають сумарно жовті кола?

1. [] 1/4
2. [] 1/16
3. [] 1/64

Правильно!

Так. У прямокутному трикутнику з кутом 30 градусів катет, що протилежить цьому куту, дорівнює половині гіпотенузи. Це означає, що радіус описаного кола вчетверо більший, ніж радіус жовтого кола. Тобто площа однієї окружності становить 1/16 площі кола. Площа чотирьох - 1/4 площі кола.

Неправильно!

Ні. У прямокутному трикутнику з кутом 30 градусів катет, що протилежить цьому куту, дорівнює половині гіпотенузи. Це означає, що радіус описаного кола вчетверо більший, ніж радіус жовтого кола. Тобто площа однієї окружності становить 1/16 площі кола. Площа чотирьох - 1/4 площі кола.

2. Радіус кожного півкола дорівнює п'яти. Чому дорівнює площа заштрихованої жовтим фігури щодо рожевого квадрату?

1. [] 1/4
2. [] 1/3
3. [] 1/2

Правильно!

Так. Ви можете вирізати і вставити шматки кола всередину. Тоді вийде 8 однакових трикутників, з яких чотири зафарбовані, чотири немає.

Неправильно!

Ні. Ви можете вирізати і вставити шматки кола всередину. Тоді вийде 8 однакових трикутників, з яких чотири зафарбовані, чотири немає.

3. На площині позначено по вертикалі 10 точок. Відстані між сусідніми точками дорівнює 4. Спіралі складені з напівкружин, що з'єднують позначені точки. Яка з двох фігур - червона або жовта - більше за площею?

1. [] Жовтий
2. [] Червоний

Правильно!

Так. Якщо найменше червоне півколо пофарбувати жовтим, вийде симетрична фігура, в якій навпіл червоного і жовтого. Значить, червоного спочатку було більше.

Неправильно!

Ні. Якщо найменше червоне півколо пофарбувати жовтим, вийде симетрична фігура, в якій навпіл червоного і жовтого. Значить, червоного спочатку було більше.

4. Чорні точки - середини менших сторін прямокутників. Всі прямокутники дорівнюють і площа кожного дорівнює чотирьом. Яка площа, що займається всіма трьома прямокутниками?

1. [] 8
2. [] 9
3. [] 10

Правильно!

Так. Якщо від прямокутника відрізати два трикутники відрізками, що з'єднують центр фігури з позначеними точками, вийде п'ятикутник площі 3. Значить, площа всієї фігури дорівнює 9.

Неправильно!

Ні. Якщо від прямокутника відрізати два трикутники відрізками, що з'єднують центр фігури з позначеними точками, вийде п'ятикутник площі 3. Значить, площа всієї фігури дорівнює 9.

5. Трикутник на картинці рівносторонній. Яку частину від площі описаного кола займає заштрихована жовтим частина?

1. [] 11/16
2. [] 13/16
3. [] 7/8

Правильно!

Так. Позначимо радіус вписаної кола за 1. Тоді радіус описаного кола дорівнює 2. Радіус незакарбованого кола дорівнює напівсуммі радіусів вписаної і описаної кола, тобто 3/2. Значить площа дорівнює 4 _ 9/4 + 1.

Неправильно!

Ні. Позначимо радіус вписаної кола за 1. Тоді радіус описаного кола дорівнює 2. Радіус незакарбованого кола дорівнює напівсуммі радіусів вписаної і описаної кола, тобто 3/2. Значить площа дорівнює 4 _ 9/4 + 1.

6. Яку частку від площі великого квадрата займають зафарбовані квадрати, якщо всі чотири - однакові?

1. [] 2/7
2. [] 2/5
3. [] 2/3

Правильно!

Так. Нехай сторона квадрата дорівнює 1. Тоді коло описано біля прямокутника зі сторонами 1 і 3. Значить, квадрат діагоналі дорівнює 10 і це дорівнює площі великого квадрата. Отже, частка дорівнює 4/10 = 2/5.

Неправильно!

Ні. Нехай сторона квадрата дорівнює 1. Тоді коло описано біля прямокутника зі сторонами 1 і 3. Значить, квадрат діагоналі дорівнює 10 і це дорівнює площі великого квадрата. Отже, частка дорівнює 4/10 = 2/5.

7. Яка частина квадрата зафарбована, якщо всі п'ять рожевих прямокутників однакові?

1. [] 5/4
2. [] 5/8
3. [] 5/16

Правильно!

Так. Нехай сторони прямокутника рівні і. Тоді два великих білих напівквадрати дають у сумі квадрат площі/2, а два маленьких напівквадрати дають у сумі/2. Отримуємо співвідношення (+) 2 =/² +/2 + 5. Його можна переписати як (+) 2 = 8. ^Таким чином, площа червоного прямокутника становить 1/8. Значить, площа п'яти прямокутників дорівнює 5/8.

Неправильно!

Ні. Нехай сторони прямокутника рівні і. Тоді два великих білих напівквадрати дають у сумі квадрат площі/2, а два маленьких напівквадрати дають у сумі/2. Отримуємо співвідношення (+) 2 =/² +/2 + 5. Його можна переписати як (+) 2 = 8. ^Таким чином, площа червоного прямокутника становить 1/8. Значить, площа п'яти прямокутників дорівнює 5/8.

Вітаємо, ваш результат: з

Новачок

Результат у вас, звичайно, не дуже. Наступного разу спробуйте взяти папірець з ручкою, може, вийде трохи краще.

Поділитися результатами

Вітаємо, ваш результат: з

Міцна середина

Хороший результат. Ви пам'ятаєте про метрію і навіть можете рахувати в розумі.

Поділитися результатами

Вітаємо, ваш результат: з

Майстер

Чудовий результат! Вітаємо, ви відмінно знаєте метрію і можете рахувати в розумі.

Поділитися результатами