Всякий, кому доводилося стикатися з серйозною математикою, неминуче задавався питанням: а мені це коли-небудь взагалі знадобиться? Книга професора Елленберга "Як не помилятися. Сила математичного мислення "відповідає саме на це питання - і на безліч інших, не менш важливих і захоплюючих. А в якості ілюстрації того, яку користь можна отримати з абстрактної математики, професор пропонує познайомитися з історією Абрахама Вальда, яку ми і публікуємо.
Подібно до багатьох історій часів Другої світової війни, моя розповідь починається з того, як нацисти вигнали євреїв з Європи, і закінчується тим, що вони гірко про це пошкодували. Абрахам Вальд народився 1902 року в місті, яке тоді називалося Клаузенбург і належало Австро-Угорській імперії. До того часу, коли Вальд досяг підліткового віку, Перша світова війна вже увійшла в підручники, а його рідне місто стало румунським містом Клуж. Онук рабина і син булочника Вальд виявляв математичні здібності з найбільш ранніх років. Обдарованість хлопчика не залишилася без уваги, і він отримав можливість вивчати математику у Віденському університеті, де захопився предметами настільки абстрактними, що навіть за мірками чистої математики вони були занадто важкі для розуміння: теорією безліч і метричними просторами.
Вальд закінчив навчання в середині 30-х років ХХ століття, коли Австрія вже перебувала в стані глибокого економічного спаду. Як у іноземця у Вальда не було шансів отримати у Відні посаду професора, але його врятувала пропозиція, що надійшла від Оскара Моргенштерна. Згодом Моргенштерн іммігрує в Сполучені Штати Америки і буде брати участь у створенні теорії ігор, а в 1933 році він, будучи директором Австрійського інституту економічних досліджень, найняв Вальда для виконання елементарних математичних завдань. Згода на цю роботу - хоча йому і призначили зовсім невелику оплату - виявилася досить розумним рішенням. Надалі завдяки отриманому досвіду в галузі економіки Вальд отримав пропозицію увійти в комісію Коулза - економічної організації, яка в той час перебувала в Колорадо-Спрінгс. Незважаючи на погіршення політичної ситуації, Вальд не хотів робити крок, який назавжди розлучив би його з чистою математикою. Але потім нацисти захопили Австрію, що допомогло Вальду зробити остаточний вибір. Після декількох місяців роботи в Колорадо він отримав пропозицію зайняти професорську посаду в Колумбійському університеті. Вальд знову упакував речі і переїхав до Нью-Йорка.
Саме там Абрахам Вальд зустрів війну.
Група статистичних досліджень (Statistical Research Group; далі за текстом - SRG), в якій Вальд працював протягом більшої частини Другої світової війни, виконувала секретну програму; її мета полягала в тому, щоб зібрати найбільших американських фахівців зі статистики і використовувати їх можливості для вирішення військових завдань. Це нагадувало Манхеттенський проект, тільки в якості зброї, розробкою якої займалася SRG, виступали рівняння, а не вибухові речовини. Крім того, SRG розташовувалася дійсно на Манхеттені, в районі Морнінгсайд-Хайтс, в будинку 401 на Західній 118-й вулиці - всього в одному кварталі від Колумбійського університету. Зараз в цьому будинку знаходяться квартири професорів Колумбійського університету і кілька кабінетів лікарів, але в 1943 році це був живий і блискучий мозковий центр військової математики. В одному з приміщень розташовувалася Група прикладної математики Колумбійського університету; десятки молодих жінок корпелі над калькуляторами Marchant, розраховуючи формули для оптимальної траєкторії руху винищувача, що дозволяла йому постійно тримати ворожий літак на прицілі. В іншому приміщенні команда дослідників Прінстонського університету розробляла схеми стратегічних бомбардувань. А по сусідству група вчених Колумбійського університету працювала над створенням атомної бомби.
Однак SRG була найсильнішою і, за великим рахунком, найвпливовішою з усіх цих груп. У SRG панувала атмосфера інтелектуальної відкритості та інтенсивної наукової думки - всі працювали з відчуттям спільної мети, яке виникає тільки при вирішенні завдань особливої важливості. "Коли ми давали рекомендації, - писав керівник SRG Вілсон Аллен Уолліс, - їх використовували. Кулемети винищувачів, що вступали в бій, були споряджені згідно з рекомендаціями Джека Вулфовіца з приводу того, як змішувати боєприпаси різних типів, - і льотчики або поверталися, або ні. Паливо ракет, які запускали літаки військово-морських сил, проходило перевірку відповідно до схеми вибіркового контролю Ейба Гіршика - і ці ракети або вибухали і знищували наші власні літаки і наших льотчиків, або вражали ціль ".
Математичний талант членів групи відповідав важливості завдання. За словами Уолліса, «як з точки зору кількості, так і з точки зору якості SRG була найвидатнішою групою фахівців зі статистики з усіх коли-небудь створених». У групі працювали: Фредерік Мостеллер - згодом засновник факультету статистики Гарвардського університету; Леонард Джиммі Севідж - першопрохідець теорії прийняття рішень і великий прихильник області математики, що пізніше стала відомою як байєсівська статистика. У SRG час від часу заглядав Норберт Вінер - математик Массачусетського технологічного інституту, творець кібернетики. Це був колектив вчених, в якому почесне четверте місце серед найбільш толкових займав Мілтон Фрідман - майбутній лауреат Нобелівської премії з економіки.
А по праву закріпилося за Абрахамом Вальдом. Вальд - викладач Аллена Уолліса в Колумбійському університеті - став для всієї групи свого роду найвищим математичним авторитетом. Втім, як «підданий ворожої держави» з юридичної точки зору Вальд не мав права бачити секретні звіти - ті звіти, які він власноруч складав. У SRG жартували, що секретарі зобов'язані буквально виривати з-під його пера кожен листок паперу тут же, як тільки він його допише. При цьому Вальд практично не вписувався в загальну спрямованість групи: він був дуже далекий від вирішення прикладних завдань, оскільки його завжди цікавила лише абстрактна математика. Однак в даному випадку верх взяла його особиста зацікавленість: присвятити свій талант антифашистській боротьбі. Так чи інакше, але Вальда визнали саме тією людиною, яку краще було мати на своєму боці - тим більше, коли виникала необхідність перевести розпливчасті думки на мову точних математичних формулювань.
* * *
Завдання полягало в наступному. Ви не хочете, щоб ворожі винищувачі збивали ваші літаки, тому покриваєте їх бронею. Але броня робить літак більш важким, що знижує його маневреність і збільшує витрату палива. Якщо на літаку занадто багато броні - це проблема; якщо броні занадто мало - це теж проблема. Десь в інтервалі лежить оптимальне рішення. Щоб вирахувати цей ідеальний варіант, ви збираєте під дахом нью-йоркської квартири команду кращих математиків.
Військові представили на розгляд SRG дані, які, на їхню думку, могли б допомогти у вирішенні завдання. Коли американські літаки виходили з повітряних боїв над Європою, вони були покриті дірами від куль. Однак пошкодження розподілялися по корпусу літака не рівномірно. Пробоїн на фюзеляжі було більше, ніж на двигуні.
Кількість кульових отворів на квадратний фут елемента конструкції літака:
Двигун - 1,11 Фюзеляж - 1,73 Паливна система - 1,55 Решта літака - 1,8
Представники командування побачили можливість підвищити ефективність використання літаків, забезпечивши такий же рівень захисту в його вразливих місцях; для цього потрібно було правильно розподілити кількість броні, роблячи її шар товщим там, де літак отримує найбільше пробоїн. Але скільки саме броні слід встановлювати на цих частинах літака? З проханням знайти потрібне рішення військові звернулися до Вальда. І отримали зовсім несподівану відповідь.
Броню слід зміцнювати не там, сказав Вальд, де найбільше пробоїн, а там, тобто на двигуні.
Вальд задався питанням: де відсутні пробоїни? Саме в цьому проявилася його проникливість - у простоті поставленого завдання. Йшлося про ті самі отвори від вражаючих засобів - пробоїни, які покривали б кожух двигуна, якщо пошкодження були б розподілені рівномірно по всьому літаку. У відповіді на своє запитання Вальд не сумнівався ні на йоту. Причина, чому на двигунах уцілілих літаків було менше пошкоджень, тільки одна: у разі прямого влучення у двигун літак просто не повертався з бою. Однак багато літаків прилітали на базу з фюзеляжем, схожим на швейцарський сир, - переконливий довід на користь того, що корпус можна (а значить, і потрібно) залишити без додаткової броні. У військовому госпіталі ви зустрінете набагато більше поранених не в груди, а в ноги. Але причина не в тому, що люди не отримують поранень у груди - просто після таких поранень вони, як правило, не виживають.
Ось старий математичний прийом, який вносить повну ясність у картину того, що відбувається: . В даному випадку в якості такої змінної виступає ймовірність того, що літак, який отримав пряме попадання в двигун, може залишитися в повітрі. Нульове значення цієї ймовірності означає, що єдине потрапляння в двигун неминуче призводить до падіння літака. Як виглядали б дані про літаки, що повертаються в такому випадку? У вас є літаки, які повернулися з дірами від куль в крилах, фюзеляжі, носової частини, але немає жодного літака з пробоїнами в двигуні. Військовий аналітик може пояснити цей факт двома причинами: або німецькі знаряддя потрапляють в усі частини літака, крім однієї, або двигун - це найвразливіше місце. Обидві причини пояснюють дані про пошкодження на уцілілих літаках, але друге пояснення набагато логічніше. Отже, броню слід зміцнювати там, де немає кульових отворів.
Висновки Вальда були відразу прийняті до відома, більш того, ними керувалися під час військових дій в Кореї і у В'єтнамі. Я не можу точно сказати, скільки американських літаків врятували його рекомендації, хоча це напевно відомо тим наступникам SRG в сучасних збройних силах, які займаються збором і обробкою даних. Вищі чини американських військових відомств завжди віддавали собі звіт, що країни перемагають у війнах не тому, що вони хоробріші супротивника або більш незалежні або їм трохи більше благоволить Бог. Як правило, переможцем стає той, у кого збивають на 5% менше літаків, або хто використовує на 5% менше палива, або хто забезпечує піхоті на 5% більш якісне харчування при 95% витрат. Про такі речі не прийнято говорити у військових фільмах, але саме до них зводяться самі війни. І на кожному етапі цього шляху присутня математика.
Читайте повністю: . Як не помилятися. Сила математичного мислення/Пер. з англ. М. Яцюк, науковий. ред. М. Гельфанд. - М.: Манн, Іванов і Фербер, 2017. - 576 с.